Klausurzusammenfassung: Statistik 2

1. Überblick und Klausurlogik

Statistik 2 wechselt von deskriptiven Kennzahlen zu Verteilungen, Stichprobenschlüssen und Modellschätzung. Die Klausurfrage ist selten nur: „Welche Formel passt?“. Entscheidend ist die Reihenfolge: Datentyp erkennen, Verteilungsannahme prüfen, Hypothesen sauber formulieren, Test oder Modell wählen, Kennzahlen korrekt interpretieren und die Grenzen der Aussage benennen.

Gliederung

1. Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen
2. Momente: Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung
3. Ausgewählte Verteilungen und Modellierung
4. Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz
5. Induktive Statistik, Z-Test und Testauswahl
6. t-Test, Konfidenzintervalle und ANOVA
7. Normalität, nichtparametrische Alternativen und Testfehler
8. Chi-Quadrat-Testfamilie
9. Lineare Regression und OLS-Schätzung
10. Multikollinearität, Endogenität und Overfitting
11. Maximum-Likelihood-Schätzung
12. Codebeispiele aus den Notebooks
13. Klausurstrategie, Checkliste und mögliche Fragen
14. Abdeckung des Foliensatzes

2. Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen

2.1 Zufallsvariable als Abbildung

Eine Zufallsvariable ist eine Abbildungsvorschrift, die jedem Ereignis aus der Ereignismenge Ω eine reelle Zahl zuordnet. Ist das Ereignis selbst schon numerisch, kann die Abbildung direkt sein, etwa beim Würfel. Ist das Ereignis kategorial, muss eine sinnvolle Codierung gewählt werden, etwa Kopf = 0 und Zahl = 1.

2.2 Diskret oder kontinuierlich

2.3 Kontinuierliche Verteilungen

Bei kontinuierlichen Verteilungen beschreibt die Dichtefunktion φ(x) keine Wahrscheinlichkeit für den Einzelwert x. Wahrscheinlichkeiten entstehen erst als Fläche unter der Dichtekurve über einem Intervall.

3. Momente von Zufallsvariablen

3.1 Erwartungswert

Der Erwartungswert μ bzw. E(X) ist der Schwerpunkt einer Verteilung. Er ist nicht zwingend ein Wert, den die Zufallsvariable tatsächlich annehmen kann. Beim fairen Würfel ist der Erwartungswert 3,5, obwohl keine 3,5 gewürfelt werden kann.

3.2 Varianz und Standardabweichung

Die Varianz misst die erwartete quadrierte Abweichung vom Erwartungswert. Die Standardabweichung σ_X ist die Wurzel der Varianz und wieder in der Einheit der Zufallsvariable interpretierbar.

3.3 Höhere Momente

Momente verallgemeinern Erwartungswert und Varianz. Der Erwartungswert ist das erste Moment, die Varianz das zweite zentrale Moment. Das dritte zentrale Moment beschreibt Schiefe, das vierte zentrale Moment Wölbung bzw. Exzess.

4. Ausgewählte Verteilungen und Modellierung

4.1 Gleichverteilung

Die kontinuierliche Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b] hat eine konstante Dichte. Sie eignet sich, wenn alle Werte in einem Intervall gleich plausibel sind.

4.2 Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl k erfolgreicher Versuche in n unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p. Typische Klausurindikatoren sind „aus n Versuchen genau/mindestens/höchstens k Erfolge“.

4.3 Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeitraum oder Raum, wenn die durchschnittliche Rate λ bekannt ist. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung bei vielen Versuchen und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit.

4.4 Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung modelliert Wartezeiten zwischen Ereignissen eines Poisson-Prozesses. Sie ist gedächtnislos: Wer schon lange gewartet hat, hat dadurch keine höhere oder niedrigere Restwartewahrscheinlichkeit.

5. Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz

5.1 Normalverteilung

Die Normalverteilung ist zentral, weil viele natürliche Merkmale annähernd normalverteilt sind und weil Stichprobenmittelwerte unter breiten Bedingungen näherungsweise normalverteilt werden. Sie wird durch Erwartungswert μ und Varianz σ² parametrisiert.

5.2 Zentraler Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz besagt: Summen und Mittelwerte vieler unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen werden näherungsweise normalverteilt. Für die Summe addieren sich Erwartungswerte und Varianzen. Für den Mittelwert bleibt der Erwartungswert gleich, die Varianz schrumpft mit 1/n.

Als Faustregel nennt der Foliensatz etwa n≥30, bei schwierigen Einzelverteilungen eher n≥100. Diese Zahl ist keine Garantie, sondern eine praktische Orientierung.

6. Induktive Statistik, Z-Test und Testauswahl

6.1 Grundidee induktiver Tests

Induktive Statistik schließt von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Ein statistischer Test prüft ein Hypothesenpaar. Die Nullhypothese H₀ ist die Ausgangsannahme; die Alternativhypothese H₁ beschreibt die Abweichung, die nachgewiesen werden soll.

6.2 Z-Test

Der Z-Test wird eingesetzt, wenn die Verteilung unter der Nullhypothese, insbesondere Erwartungswert und Varianz, theoretisch bekannt ist oder durch den ZGS ausreichend bestimmt werden kann. Im Würfelbeispiel ist die Augenzahl theoretisch gleichverteilt mit μ=3,5 und σ²=2,91.

6.3 Welche Tests gibt es?

Der Foliensatz unterscheidet Verteilungshypothesen, Parameterhypothesen und Abhängigkeitshypothesen. Die Testwahl hängt von abhängiger Variable, Skalenniveau, Anzahl der Gruppen, Paarung der Stichproben, Verteilungsannahmen und Stichprobengröße ab.

7. t-Test, Konfidenzintervalle und ANOVA

7.1 Warum t statt z?

Beim t-Test ist die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt und wird aus der Stichprobe geschätzt. Diese zusätzliche Unsicherheit wird durch die Studentsche t-Verteilung abgebildet. Mit steigender Zahl an Freiheitsgraden nähert sie sich der Normalverteilung an.

7.2 Zwei Stichproben und Paarung

7.3 p-Wert und Konfidenzintervall zusammen lesen

Ein Konfidenzintervall zeigt plausible Werte des wahren Unterschieds. Enthält ein zweiseitiges 95 %-Konfidenzintervall die 0 nicht, ist der zugehörige p-Wert kleiner als 5 %. Enthält es die 0, ist ein echter Unterschied auf diesem Niveau nicht nachgewiesen.

7.4 ANOVA

Die ANOVA erweitert die Mittelwertvergleiche auf mehr als zwei Gruppen. Sie prüft zunächst nur, ob mindestens ein Gruppenmittelwert von mindestens einem anderen abweicht. Welche Gruppen sich unterscheiden, klären Post-Hoc-Tests.

8. Normalität, Alternativen und Testfehler

8.1 Voraussetzungen parametrischer Tests

t-Tests und ANOVA sind parametrische Tests. Für den t-Test müssen die Daten metrisch skaliert sein, und der Mittelwert der Stichprobe muss näherungsweise normalverteilt sein. Bei größeren Stichproben wird diese Voraussetzung durch den zentralen Grenzwertsatz oft praktikabel; bei kleinen Stichproben muss genauer geprüft werden.

8.2 Q-Q-Plot und Normalitätstests

Histogramme hängen stark von der Klasseneinteilung ab. Q-Q-Plots vergleichen die sortierten Stichprobenwerte mit den theoretischen Quantilen der Normalverteilung und sind für kleine Stichproben oft informativer.

Formale Normalitätstests sind Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov und Anderson-Darling. Die Nullhypothese lautet: Die Grundgesamtheit folgt der geprüften Verteilung. Für Normalität will man deshalb typischerweise keinen kleinen p-Wert.

8.3 Fehlerarten

9. Chi-Quadrat-Testfamilie

9.1 Unabhängigkeitstest

Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest prüft, ob zwei kategoriale Merkmale unabhängig sind. Er vergleicht die beobachtete Kontingenztabelle mit der erwarteten Tabelle unter H₀.

Im Werbemailing-Beispiel ergibt der Unabhängigkeitstest einen p-Wert von 0,2174. Ein Unterschied der Öffnungsraten von 9,27 % zu 11,58 % ist unter H₀ plausibel; die Nullhypothese wird beibehalten.

9.2 Anpassungstest

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft, ob die beobachtete Verteilung eines kategorialen Merkmals zu einer erwarteten Verteilung passt. Im Studiengangsbeispiel führt ein p-Wert von 0,00808 zur Verwerfung: Das Sample weicht signifikant von der erwarteten Grundverteilung ab.

10. Lineare Regression und OLS-Schätzung

10.1 Regression als Zusammenhangsmodell

Regression sucht Zusammenhänge zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen. Bei der linearen OLS-Regression werden Koeffizienten so gewählt, dass die Summe der quadrierten Residuen minimal wird.

10.2 Output interpretieren

10.3 Korrelation ist nicht Kausalität

OLS zeigt zunächst Assoziationen. Ein signifikanter Koeffizient beweist keinen kausalen Effekt. Dritte Variablen können gleichzeitig unabhängige und abhängige Variable beeinflussen und damit eine Scheinkorrelation erzeugen.

10.4 Strommarktbeispiel

Im Strommarktbeispiel wirkt eine einfache Regression der Nachfrage auf den Strompreis zunächst statistisch signifikant, aber fachlich falsch gerichtet: Eine höhere Nachfrage treibt eher den Preis, nicht umgekehrt. Erst das Modell mit Preis als abhängiger Variable, Nachfrage und erneuerbarer Einspeisung als unabhängigen Variablen ist ökonomisch plausibler.

10.5 Residuenprüfung

Residuen sind die Abweichungen zwischen beobachtetem und geschätztem Wert. Sie sollten insbesondere auf Normalverteilung und Homoskedastizität geprüft werden. Homoskedastizität bedeutet, dass die Streuung der Residuen nicht systematisch mit dem geschätzten Wert zunimmt oder abnimmt.

11. Multikollinearität, Endogenität und Overfitting

11.1 Multikollinearität

Multikollinearität liegt vor, wenn unabhängige Variablen stark miteinander korrelieren. Das Modell kann y weiterhin gut erklären, aber die einzelnen Koeffizienten werden instabil, haben hohe Standardfehler und können fachlich unsinnig wirken. Der Schätzer kann weiterhin erwartungstreu sein, aber der zufällige Schätzfehler ist groß.

Behandlung: problematische Variablen entfernen, zusammenfassen, weiter zerlegen oder alternative Schätzverfahren wie Ridge-Regression einsetzen.

11.2 Endogenität

Endogenität entsteht, wenn eine unabhängige Variable mit dem Störterm korreliert. Dann ist der Schätzer verzerrt und nicht mehr erwartungstreu. Anders als zufälliger Schätzfehler verschwindet dieser Bias nicht automatisch bei größerer Stichprobe.

Im Bildungs-Gehalts-Beispiel verursacht „Ability“ ein Omitted-Variable-Problem: Fähigkeit beeinflusst Bildung und Gehalt. Fehlt diese Variable, landet sie im Störterm und korreliert mit Bildung.

11.3 Overfitting, Ridge, Lasso und Elastic Net

Overfitting entsteht, wenn Modellwahl, Variablentransformationen oder Algorithmusparameter zu stark an die Stichprobe angepasst werden. Bei Regressionen passiert das besonders leicht, wenn Variablen solange ausgetauscht werden, bis gewünschte p-Werte erscheinen.

12. Maximum-Likelihood-Schätzung

12.1 Grundidee

Maximum Likelihood schätzt Parameter einer angenommenen Verteilung so, dass die beobachtete Stichprobe unter dieser Verteilung möglichst wahrscheinlich ist. Dazu wird angenommen, dass die Beobachtungen unabhängig und identisch verteilt sind, also i.i.d.

Produkte vieler kleiner Wahrscheinlichkeiten sind numerisch und algebraisch unhandlich. Deshalb wird mit der Log-Likelihood gearbeitet. Aus Produkten werden Summen.

12.2 Optimierung und Output

Die ML-Schätzer erhält man durch Optimierung der Log-Likelihood. Analytisch werden die partiellen Ableitungen auf 0 gesetzt und die Hessematrix geprüft. Praktisch liefern Softwarepakete Schätzer, Standardfehler, Log-Likelihood sowie Informationskriterien.

13. Codebeispiele aus den Notebooks

Die folgenden Ausschnitte stammen aus den Jupyter Notebooks im Ordner temp_statistik2. Sie sind bewusst kurz gehalten; Variablen wie data, calls, N oder delta werden in den jeweiligen Notebooks vorher geladen bzw. berechnet. In der Klausur ist wichtig, die statistische Fragestellung, den passenden Test und die Interpretation des Outputs zu verstehen; die Software nimmt nur die Rechenarbeit ab.

13.1 Verteilungen mit SciPy

Das Notebook Verteilungen.ipynb nutzt scipy.stats für Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Verteilungsfunktionen, Zufallszahlen und Parameterschätzung.

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Binomialverteilung: genau 4 Treffer aus 5 Versuchen bei p = 0.75
stats.binom.pmf(k=4, n=5, p=0.75)

# Poisson-Verteilung: genau 4 Ereignisse bei lambda = 1.5
stats.poisson.pmf(k=4, mu=1.5)

Für die Darts-Aufgabe wird die einzelne Trefferwahrscheinlichkeit aus beobachteten Trefferzahlen geschätzt und danach für mehrere Fragestellungen verwendet.

hits = [1,2,1,1,2,3,0,3,2,0,3,2,1,2,3,3,2,1,0,3,2,1,1,2]

p = stats.fit(stats.binom, hits, bounds={"n": [3, 3]}).params.p

1 - stats.binom.cdf(k=1, n=3, p=p)  # mindestens zwei T20
stats.binom.pmf(k=3, n=3, p=p)      # 180er
stats.binom.pmf(k=9, n=9, p=p)      # neun perfekte Darts

Für die Hotline-Aufgabe werden Poisson-Verteilung und Exponentialverteilung kombiniert: Anzahl der Anrufe pro Stunde vs. Wartezeit zwischen Anrufen.

lam = np.mean(calls["calls"])

stats.poisson.pmf(k=0, mu=lam)      # kein Anruf in einer Stunde
1 - stats.poisson.cdf(k=4, mu=lam)  # mindestens 5 Anrufe

# scale ist bei scipy.stats.expon der Kehrwert von lambda
stats.expon.cdf(5/60, loc=0, scale=1/lam)      # Pause maximal 5 Minuten
1 - stats.expon.cdf(30/60, loc=0, scale=1/lam) # Pause mindestens 30 Minuten

13.2 Z-Test

Das Z-Test-Notebook berechnet zuerst den Standardfehler des Mittelwerts und setzt die beobachtete Abweichung in Standardabweichungseinheiten.

import numpy as np
import scipy.stats as stats

variance = 2.91 / N
sigma = np.sqrt(variance)
z = delta / sigma

# einseitiger linksseitiger Test
p = stats.norm.cdf(z)

# zweiseitiger Test bei negativer Abweichung
p = 2 * stats.norm.cdf(z)

13.3 t-Tests mit Pingouin und von Hand

Die t-Test-Notebooks verwenden pingouin für fertige Tests. Der Einstichproben-t-Test ersetzt die zweite Stichprobe durch den Sollwert.

import pingouin as pg

# Einstichproben-t-Test: Ist der Mittelwert von Alt gleich 4.00?
pg.ttest(data["Alt"], 4.00)

Der gleiche p-Wert lässt sich über Standardfehler, t-Wert und t-Verteilung nachvollziehen.

stdErr = np.std(data["Alt"], ddof=1) / np.sqrt(len(data["Alt"]))
t_value = (np.mean(data["Alt"]) - 4.00) / stdErr

from scipy.stats import t
prob = t.cdf(t_value, df=len(data["Alt"]) - 1)
p = (1 - prob) * 2  # zweiseitiger Test
round(p, 4)

Beim Zweistichproben-t-Test ist die Paarung entscheidend. Studiengänge sind ungepaart; Marketing und Analysis sind gepaart, weil dieselben Personen verglichen werden.

wi = data.loc[data["Kurs"] == "Wirtschaftsinformatik", "Punkte"]
ds = data.loc[data["Kurs"] == "Data Science", "Punkte"]
pg.ttest(wi, ds)

mkt = data.loc[data["Vorlesung"] == "Marketing", "Punkte"]
ana = data.loc[data["Vorlesung"] == "Analysis", "Punkte"]
pg.ttest(mkt, ana, paired=True)

13.4 ANOVA und Post-Hoc-Tests

Das ANOVA-Notebook formt die Daten zuerst ins lange Format. Danach prüft die ANOVA, ob mindestens ein Bot-Mittelwert abweicht.

data = data.melt(
    id_vars=["Arbeit"],
    value_vars=["Bot_A", "Bot_B", "Bot_C", "Bot_D"],
    var_name="Bot",
    value_name="Accuracy",
)

aov = pg.anova(dv="Accuracy", between="Bot", data=data, detailed=True)
aov

Wenn die ANOVA signifikant ist, folgen Paarvergleiche.

from statsmodels.stats.multicomp import pairwise_tukeyhsd

tukey = pairwise_tukeyhsd(endog=data["Accuracy"], groups=data["Bot"], alpha=0.05)
print(tukey)

games_howell = pg.pairwise_gameshowell(dv="Accuracy", between="Bot", data=data)
print(games_howell)

pairwise_ttest = pg.pairwise_tests(
    dv="Accuracy",
    between="Bot",
    data=data,
    padjust="bonferroni",
)
print(pairwise_ttest)

13.5 Normalität prüfen

Das Normalitäts-Notebook kombiniert visuelle Prüfung per Q-Q-Plot und formale Tests. Die Nullhypothese lautet jeweils: Die Daten folgen der geprüften Verteilung.

stats.probplot(data, dist="norm", plot=plt)
plt.title("Q-Q Plot")
plt.show()

stats.shapiro(data)

mu, std = stats.norm.fit(data)
stats.kstest(data, stats.norm.cdf, args=(mu, std))

stats.anderson(data, dist="norm")

13.6 Chi-Quadrat-Tests

Der Unabhängigkeitstest kann direkt auf einer Kontingenztabelle laufen oder auf langen Daten mit pingouin.

from scipy.stats import chi2_contingency

chi2_stat, p_value, dof, expected = chi2_contingency(values)
p_value

data = pd.read_excel("Werbemailings.xlsx", usecols="B:D", skiprows=26)
data = pd.melt(data, value_vars=["Newsletter A", "Newsletter B", "Newsletter C"])
data = data.loc[data["variable"] != "Newsletter C", :]

expected, actual, result = pg.chi2_independence(
    data,
    "variable",
    "value",
    correction=True,
)
print(actual)
print(expected)
result

Der Anpassungstest vergleicht beobachtete Häufigkeiten mit einer erwarteten Verteilung. Die erwarteten Häufigkeiten werden vorher auf dieselbe Gesamtzahl normiert.

from scipy.stats import chisquare

observed = np.array([20, 25, 10])
expected = np.array([200, 300, 40])
expected = expected * (observed.sum() / expected.sum())

chi2_stat, p_value = chisquare(f_obs=observed, f_exp=expected)
p_value

13.7 OLS-Regression mit Statsmodels

Die OLS-Notebooks verwenden die Formel-API von statsmodels. Sie ist gut lesbar, weil die Modellgleichung fast wie die mathematische Spezifikation aussieht.

import statsmodels.formula.api as smf

model = smf.ols("Punkte ~ Lernstunden", data=data).fit()
print(model.summary())
print(model.conf_int(alpha=0.05))

Im Strommarkt-Notebook zeigt der Vergleich zweier Formeln, dass Modellrichtung und Kontrollvariablen fachlich begründet werden müssen.

# Einfaches, fachlich problematisches Modell
model = smf.ols("Netzlast ~ Preis", data=data).fit()
print(model.summary())

# Plausibleres Modell: Preis als abhängige Variable
model = smf.ols("Preis ~ Netzlast + GesamtEE", data=data).fit()
print(model.summary())
print(model.conf_int(alpha=0.05))

Das Mensa-Notebook zeigt eine multiple Regression mit kategorialen und numerischen Prädiktoren. Kategoriale Variablen werden von statsmodels über die Formel intern dummy-codiert.

model = smf.ols(
    "food_score ~ gender + status + preference + allergy + ambience_score + service_score",
    data=data,
).fit()
print(model.summary())

13.8 Endogenität und zweistufige IV-Schätzung

Das Endogenitäts-Notebook simuliert das Omitted-Variable-Problem und zeigt eine einfache zweistufige Instrumentalvariablenlogik. In der ersten Stufe wird die endogene Variable durch das Instrument erklärt; in der zweiten Stufe wird mit den gefitteten Werten weitergearbeitet.

model1 = smf.ols("education ~ availability", data=data).fit()
instrument = model1.fittedvalues

model2 = smf.ols("wage ~ instrument", data=data).fit()
beta.append(model2.params["instrument"])

13.9 Maximum Likelihood als Optimierung

Das Verteilungsnotebook zeigt Maximum Likelihood am Poisson-Parameter. Optimiert wird die negative Log-Likelihood, weil Minimierer in SciPy standardmäßig minimieren.

from scipy.optimize import minimize

def neg_log_likelihood(lmbda):
    return -np.sum(stats.poisson.logpmf(x, mu=lmbda))

initial_guess = np.mean(x)

result = minimize(
    neg_log_likelihood,
    x0=initial_guess,
    method="L-BFGS-B",
    bounds=[(0.0001, None)],
)

lambda_mle = result.x[0]
log_likelihood = -result.fun

14. Klausurstrategie, Checkliste und mögliche Fragen

13.1 Rechen- und Interpretationsschema

1. Variable identifizieren: numerisch oder kategorial, diskret oder kontinuierlich, eine oder mehrere Gruppen.
2. Verteilung oder Testfamilie auswählen: Binomial, Poisson, Exponential, Normal, t-Test, ANOVA, Chi-Quadrat, OLS oder ML.
3. Hypothesenpaar sauber formulieren, inklusive Richtung bei einseitigen Tests.
4. Teststatistik, p-Wert und Konfidenzintervall nicht nur berechnen, sondern in Worten interpretieren.
5. Annahmen prüfen: Normalität, Paarung, Unabhängigkeit, erwartete Häufigkeiten, Homoskedastizität, Multikollinearität, Endogenität.
6. Grenzen benennen: Signifikanz ist nicht Effektgröße, Korrelation ist nicht Kausalität, kleine Stichproben liefern unsichere Tests.

13.2 Kompakte Lerncheckliste

13.3 Mögliche Klausurfragen

1. Eine Hotline erhält im Mittel 2,5 Anrufe pro Stunde. Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Anrufe, welche die Wartezeit bis zum nächsten Anruf?
2. Berechne Erwartungswert und Varianz einer Gleichverteilung auf [2,4] und interpretiere beide Werte.
3. Ein Würfel wird 10.000-mal geworfen und zeigt einen deutlich zu niedrigen Mittelwert. Formuliere H₀, H₁, Teststatistik und p-Wert-Interpretation.
4. Warum kann ein zweiseitiger Test einen anderen p-Wert liefern als ein linksseitiger Test mit derselben Teststatistik?
5. Wann ist ein t-Test gepaart? Gib ein Beispiel und erkläre, was dann getestet wird.
6. Eine ANOVA ist signifikant. Warum brauchst du danach einen Post-Hoc-Test?
7. Ein Normalitätstest liefert p=0,12. Was darfst du sagen, was nicht?
8. Bei einem Werbemailing unterscheiden sich Öffnungsraten deskriptiv. Welcher Chi-Quadrat-Test passt und wie lautet H₀?
9. Interpretiere einen OLS-Koeffizienten mit Standardfehler, p-Wert und Konfidenzintervall in korrekter Sprache.
10. Warum kann ein hochsignifikanter Strompreis-Koeffizient fachlich trotzdem falsch interpretiert sein?
11. Wie erkennt und behandelt man Multikollinearität?
12. Was ist ein gültiges Instrument bei IV-Schätzung, und warum reichen Relevanz oder Exogenität allein nicht?
13. Vergleiche Ridge und Lasso: Zielfunktion, Effekt auf Koeffizienten und typische Anwendung.
14. Erkläre Likelihood, Log-Likelihood, AIC und BIC an einem Verteilungsfit.

15. Abdeckung des Foliensatzes