Formelsammlung: Statistik 2

1. Prüfungslogik

Inhaltsverzeichnis

1. Notation und Grundformeln
2. Wichtige Verteilungen
3. Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz
4. Hypothesenpaare und p-Wert-Entscheidung
5. Testauswahl und Testformeln
6. Lineare Regression und OLS
7. Regressionsprobleme und Regularisierung
8. Maximum Likelihood
9. Python-Code-Muster
10. Klausurbeispiele
11. Checkliste und Prüfungsfallen
12. Abdeckung

2. Notation und Grundformeln

2.1 Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

2.2 Erwartungswert, Varianz und Momente

3. Wichtige Verteilungen

4. Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz

5. Hypothesenpaare und p-Wert-Entscheidung

5.1 Generische Hypothesenpaare

5.2 Welche Hypothese bei welchem p-Wert?

5.3 p-Wert-Interpretationen als Satzbausteine

6. Testauswahl und Testformeln

6.1 z-Test

6.2 t-Tests und Konfidenzintervalle

6.3 ANOVA und Post-Hoc

6.4 Normalität und nichtparametrische Alternativen

6.5 Chi-Quadrat-Testfamilie

7. Lineare Regression und OLS

7.1 Modell und Schätzung

7.2 Gütemaße und Interpretation

8. Regressionsprobleme und Regularisierung

9. Maximum Likelihood

10. Python-Code-Muster

10.1 Grundsetup und p-Wert-Entscheidung

import math
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy.stats as stats

def p_decision(p_value: float, alpha: float = 0.05) -> str:
    if p_value < alpha:
        return f"H0 verwerfen; Ergebnis signifikant auf alpha={alpha:.2%}."
    return f"H0 nicht verwerfen; kein ausreichender Hinweis gegen H0 auf alpha={alpha:.2%}."

10.2 Verteilungen

# Binomial: mindestens 2 falsche Kaffees bei n=30 und p=0.04
p_at_least_2 = 1 - stats.binom.cdf(k=1, n=30, p=0.04)

# Poisson: maximal 1 Anruf pro Stunde bei lambda=3.4
p_max_1 = stats.poisson.cdf(k=1, mu=3.4)

# Exponential: erwartete Wartezeit zwischen Anrufen
expected_wait_hours = stats.expon.mean(scale=1 / 3.4)

# Normalverteilung: P(X <= 600) für X ~ N(800, 2000)
p_left = stats.norm.cdf(600, loc=800, scale=math.sqrt(2000))

10.3 z-Test und t-Tests

def z_test_mean(xbar: float, mu0: float, sigma: float, n: int, alternative: str = "two-sided"):
    z = (xbar - mu0) / (sigma / math.sqrt(n))
    if alternative == "less":
        p = stats.norm.cdf(z)
    elif alternative == "greater":
        p = 1 - stats.norm.cdf(z)
    else:
        p = 2 * min(stats.norm.cdf(z), 1 - stats.norm.cdf(z))
    return z, p

# Einstichprobe
t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(sample, popmean=4.0)

# Zwei unabhängige Stichproben, Welch als robuste Standardwahl
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group_a, group_b, equal_var=False)

# Verbundene Stichprobe
t_stat, p_value = stats.ttest_rel(before, after)

10.4 ANOVA und Post-Hoc

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
from statsmodels.stats.multicomp import pairwise_tukeyhsd

model = smf.ols("value ~ C(group)", data=df).fit()
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)

posthoc = pairwise_tukeyhsd(endog=df["value"], groups=df["group"], alpha=0.05)
print(anova_table)
print(posthoc)

10.5 Normalität, Chi-Quadrat und Korrelation

# Normalität
shapiro_stat, shapiro_p = stats.shapiro(x)
mu, sigma = stats.norm.fit(x)
ks_stat, ks_p = stats.kstest(x, stats.norm.cdf, args=(mu, sigma))

# Chi-Quadrat-Unabhängigkeit
table = pd.crosstab(df["gender"], df["course"])
chi2_stat, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(table)

# Chi-Quadrat-Anpassungstest
observed = np.array([20, 30, 50])
expected = np.array([25, 25, 50])
chi2_stat, p_value = stats.chisquare(f_obs=observed, f_exp=expected)

# Korrelation
r, p_value = stats.pearsonr(x, y)     # metrisch, ungefähr normal
rho, p_value = stats.spearmanr(x, y) # ordinal/nichtlinear monoton

10.6 OLS, VIF, Ridge/Lasso und ML

import statsmodels.formula.api as smf
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
from sklearn.linear_model import RidgeCV, LassoCV
from sklearn.model_selection import train_test_split
from scipy.optimize import minimize

# OLS mit kategorialen Variablen
model = smf.ols("salary ~ statistics + C(state) + C(industry) + math_1 + math_2", data=df).fit()
print(model.summary())

# VIF: X enthält nur erklärende Variablen inklusive Konstante
X = model.model.exog
vif = pd.Series(
    [variance_inflation_factor(X, i) for i in range(X.shape[1])],
    index=model.model.exog_names,
)

# Regularisierung
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(features, target, random_state=42)
ridge = RidgeCV(alphas=np.logspace(-3, 3, 50)).fit(X_train, y_train)
lasso = LassoCV(alphas=np.logspace(-3, 1, 50), cv=5, random_state=42).fit(X_train, y_train)

# Maximum Likelihood: Poisson-Parameter schätzen
def neg_log_likelihood(params, x):
    lam = params[0]
    if lam <= 0:
        return np.inf
    return -np.sum(stats.poisson.logpmf(x, mu=lam))

result = minimize(neg_log_likelihood, x0=[np.mean(x)], args=(x,), bounds=[(1e-9, None)])
lam_hat = result.x[0]
log_likelihood = -result.fun

11. Klausurbeispiele aus der Probeklausur

11.1 Plinko: Erwartungswert, Varianz und einseitiger z-Test

11.2 Kaffeemaschine: Binomial, Poisson, Exponential

11.3 Tests aus dem Social-Media-Beispiel

11.4 Regressionsoutput interpretieren

12. Checkliste und Prüfungsfallen

Typische Wahr/Falsch-Fallen

13. Abdeckung